第一冊3-3數學歸納法

1.設S_n=1²+2²+3²+...+n²，T_n=1+2+3+...+n=，試觀察的規律性。

2.試證：1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)，對所有自然數n都成立。

3.設nN，試問有沒有一個質數P恆為3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²的因數，若有，請用數學歸納法

，證明您的答案是正確的。

4.試證：1·2+2·3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)對所有自然數n都成立。

5.設nN，試判別n²+n+17是否為質數。

6.設nN，試比較n²與2ⁿ的大小。

7.(1)討論2+6+10+….+2(2n-1)=2n²+2是否成立？

(2)設n為一正整數，試說明n²-n+41是否恆為質數？

8.請採取逐項部份和的方式，透過觀察、歸納，求下列級數的和，並加以證明

(1)   (2)

9.證明對所有nN，3ⁿ>2n。

10.證明對所有正整數n≧2，

11.利用數學歸納法證明

12.利用數學歸納法證明下列各式

(1)   (2)設nN，n>3，試證：3ⁿ>n³

(3)設nN且n>4，2ⁿ>n²+7

13.(1)試證：nN，10²ⁿ+5·12ⁿ-6都可被22整除。

(2)試證：nN，3²ⁿ⁺¹+5^2n-1都可被16整除。

14.設nN，n≧2

(1)試求的結果。        《》

(2)利用數學歸納法證明(1)的結果。

15.設數列<a_n>：1，3，7，13，21，...求

(1)a_n      (2)前n項之和S_n                 

《(1)n²-n+1(2)》

16.設數列<a_n>：1，4，10，22，46，...求

(1)a_n      (2)前n項之和S_n

                 《(1)3·2^n-1-2(2)3·2ⁿ-3-2n》

17.寫出遞迴定義之數列<a_n>的前6項：

a₁=5，a₂=2，a_n+2=3a_n+1+a_n    (nN)

18.數列<a_n>，a_n=-5n+7，則此數列的遞迴定義為何(等差數列)

                                                                                     《》

19.數列<>的遞迴定義為何？(等比數列)

                                                                                        《

20.寫出下列的遞迴定義

(1)等差數列<a_n>：3，7，11，15，…..            《a₁=3，a_n+1=a_n+4》

(2)等比數列<a_n>：                 《a₁=2，a_n+1=a_n》

21.數列<a_n>定義如下：a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1，求a₁₀₀=？，a_n=？

《10000，n²》

22.數列<a_n>滿足：a₁=3，a_n+1=a_n+5；nN，求a_n=？

《a_n=5n-2；nN》

23.數列<a_n>滿足：a₁=3，a_n+1=5a_n；nN，求a_n=？

《a_n=3∙5^n-1；nN》

24.平面上有n條直線滿足(1)任兩條均不平行(2)任三條均不共點，並設此n條直線將平面分割成a_n個區域

(1)求a₁，a₂，a₃之值          (2)由a₃求a₄

(3)求a_n-1與a_n的關係          (4)求a_n

         《(1)a₁=2，a₂=4，a₃=7  (2)a₄=11  (3)a_n=a_n-1+n  (4)》

25.(1)平面上經過一個固定點的n個圓，最多將平面分成幾個部分？

(2)平面上相異n點，最多能決定幾條直線？

(3)平面上相異n條線，最多能交成幾點？

(4)平面上相異n個圓，最多能將平面分成幾部份

       《(1)a_n=  (2)  (3)  (4)2ⁿ》